Категория C5 • задача №2
Условие задачи
Дано:
прямая вида y = bx + 3
Вопрос:
при каких значениях b прямая y = bx + 3 является касательной к параболе f(x) = x2 - 2x + 4.
Решение
Запишем уравнение касательной к графику функции f(x) = x2 - 2x + 4 в общем виде:
yк = f '(x0) · (x - x0) + f(x0)
Найдем производную функции f(x):
f '(x) = (x2 - 2x + 4)' = 2 · x2-1 - 2 · x1-1 = 2 · x - 2 · x0 = 2x - 2
f '(x0) = 2x0 - 2
f (x0) = x02 - 2x0 + 4
yк = f '(x0) · (x - x0) + f(x0) = (2x0 - 2) · (x - x0) + x02 - 2x0 + 4
Приведем подобные и получим:
yк = 2x0 · x - 2x0 · x0 - 2x - 2 · (-x0) + x02 - 2x0 + 4 = 2x0x - 2x02 - 2x + 2x0 + x02 - 2x0 + 4 =
= 2x0x - x02 - 2x + 4 = (2x0x - 2x) - x02 + 4 = (2x0 - 2) · x - x02 + 4
Рассмотрим прямые:
y = b · x + 3;
yк = (2x0 - 2) · x - x02 + 4.
И y и yк является касательными к одному и тому же графику функций, следовательно, должны совпадать, то есть:
y = b · x + 3
yк = (2x0 - 2) · x - x02 + 4
Рассмотрим (II) уравнение системы:
3 = - x02 + 4 `=>` 3 + x02 - 4 = 0 `=>` x02 - 1 = 0
Воспользуемся формулой: a2 - b2 = (a - b)(a + b)
(x0 - 1)(x0 + 1) = 0
Произведение равно 0, если хотя бы один из множителей равен 0, то есть:
x0 - 1 = 0 `=>` x0 = 1
x0 + 1 = 0 `=>` x0 = -1
При x0 = 1:
b = 2x0 - 2 = 2 · 1 - 2 = 2 - 2 = 0
yк = bx + 3 = 0 · x + 3 = 3
При x0 = -1:
b = 2x0 - 2 = 2 · (-1) - 2 = - 2 - 2 = - 4
yк = bx + 3 = (- 4) · x + 3 = - 4х + 3
То есть существует две касательных:
y = 0 · x + 3 = 3 (b = 0)
y = -4x + 3 (b = -4)
Вывод: |
при значениях b = 0 или b = -4 прямая y = bx + 3 является касательной к параболе f(x) = x2 - 2x + 4 |
Ответ: |
0 или -4 |
Комментарии