Дано:
система неравенств вида

Вопрос:
решите систему неравенств.

Детерминируем область определения:

Решим (1) неравенство системы (x – 1)² > 0. Решим его методом интервалов.

(x – 1)² = 0       `=>`       (x – 1)(x – 1) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть:

х – 1 = 0       `=>`       х₁ = 1                                     | х – 1 = 0       `=>`       х₂ = 1

f(0) = (0 – 1)² = (–1)² = 1 > 0
f(2) = (2 – 1)² = 1² = 1 > 0

x ϵ (– ∞; 1) ᴜ (1; + ∞)

Решим (2) неравенство системы (x – 1)² ≠ 1.

(x – 1)² – 1 ≠ 0

Воспользуемся формулой a² – b² = (a – b)(a + b).

(x – 1 – 1)(x – 1 + 1) ≠ 0       `=>`       (x – 2)x ≠ 0

Произведение не равно нулю, если все множители не равны нулю, то есть:

x – 2 ≠ 0       `=>`       x₁ ≠ 2                                  | x ≠ 0       `=>`       x₂ ≠ 0

x ϵ (– ∞; 0) ᴜ (0; 2) ᴜ (2; + ∞)

Решим (3) неравенство системы x² – 4x + 4 > 0. Решим его методом интервалов.

x² – 4x + 4 = 0       `=>`       x² – 2 · 2 · x + 2² = 0

Воспользуемся формулой (a – b)² = a² – 2ab + b².

(x – 2)² = 0       `=>`       (x – 2)(x – 2) = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть:

x – 2 = 0       `=>`       x₁ = 2                                  | x – 2 = 0       `=>`       x₂ = 2

f(1) = (1 – 2)² = (–1)² = 1 > 0
f(3) = (3 – 2)² = 1² = 1 > 0

x ϵ (– ∞; 2) ᴜ (2; + ∞)

Решим (4) неравенство системы x² – 3x + 3 > 0. Решим его методом интервалов.

x² – 3x + 3 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = – 3 и c = 3.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² – 4ac = (– 3)² – 4 · 1 · 3 = 9 - 12 = – 3

Так как a = 1 > 0 и D = – 3 < 0, то при всех х выражение x² – 3x + 3 будет положительным.

x ϵ (– ∞; + ∞)

Консолидируем рассчитанные значения х:

(1): x ϵ (– ∞; 1) ᴜ (1; + ∞)                                          | (3): x ϵ (– ∞; 2) ᴜ (2; + ∞)

(2): x ϵ (– ∞; 0) ᴜ (0; 2) ᴜ (2; + ∞)                               | (4): x ϵ (– ∞; + ∞)

Получим:

Область определения: x ϵ (– ∞; 0) ᴜ (0; 1) ᴜ (1; 2) ᴜ (2; + ∞)

Рассмотрим (I) неравенство искомой системы:

log_{(x – 1)²}(x² – 4x + 4) < 0

log_{(x – 1)²}(x² – 4x + 4) < log_{(x – 1)²}1

а) Если 0 < a < 1 (0 < (x – 1)² < 1), то используем правило:

log_af(x) < log_ag(x)       `hArr`        f(x) > g(x)

x² – 4x + 4 > 1       `=>`       x² – 4x + 4 – 1 > 0       `=>`       x² – 4x + 3 > 0

Решим методом интервалов:

x² – 4x + 3 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = – 4 и c = 3.

Так как a + b + c = 1 + (– 4) + 3 = 0, то:

f(0) = 0² – 4 · 0 + 3 = 3 > 0
f(2) = 2² – 4 · 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = – 1 < 0
f(4) = 4² – 4 · 4 + 3 = 16 – 16 + 3 = 3 > 0

x ϵ (– ∞; 1) ᴜ (3; + ∞)

Решим двойное неравенство 0 < (x – 1)² < 1:

Как было рассмотрено выше, решением неравенства (x – 1)² > 0 является x ϵ (– ∞; 1) ᴜ (1; + ∞).

Рассмотрим (x – 1)² < 1:

(x – 1)² – 1 < 0

Решим методом интервалов:

(x – 1)² – 1 = 0

Применим формулу a² – b² = (a – b)(a + b).

(x – 1 – 1)(x – 1 + 1) = 0       `=>`       (x – 2)x = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть:

x – 2 = 0       `=>`       x₁ = 2                                     | x = 0       `=>`       x₂ = 0

f(– 1) = (– 1 – 1)² – 1 = (– 2)² – 1 = 4 – 1 = 3 > 0
f(1) = (1 – 1)² – 1 = 0² – 1 = – 1 < 0
f(3) = (3 – 1)² – 1 = 2² – 1 = 4 – 1 = 3 > 0

x ϵ (0; 2)

Совокупно: x ϵ (– ∞; 1) ᴜ (3; + ∞)   |   x ϵ (– ∞; 1) ᴜ (1; + ∞)   |   x ϵ (0; 2)

x ϵ (0; 1)

б) Если a > 1 ((x – 1)² > 1), то используем правило:

log_af(x) < log_ag(x)       `hArr`       f(x) < g(x)

x² – 4x + 4 < 1       `=>`       x² – 4x + 4 – 1 < 0       `=>`       x² – 4x + 3 < 0

Решим методом интервалов:

x² – 4x + 3 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = – 4 и c = 3.

Так как a + b + c = 1 + (– 4) + 3 = 0, то:

f(0) = 0² – 4 · 0 + 3 = 3 > 0
f(2) = 2² – 4 · 2 + 3 = 4 – 8 + 3 = – 1 < 0
f(4) = 4² – 4 · 4 + 3 = 16 – 16 + 3 = 3 > 0

x ϵ (1; 3)

Решим неравенство (x – 1)² > 1:

(x – 1)² – 1 > 0

Решим методом интервалов:

(x – 1)² – 1 = 0

Воспользуемся формулой a² – b² = (a – b)(a + b).

(x – 1 – 1)(x – 1 + 1) = 0       `=>`       (x – 2)x = 0

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть:

x – 2 = 0       `=>`       x₁ = 2                                    | x = 0       `=>`       x₂ = 0

f(– 1) = (– 1 – 1)² – 1 = (– 2)² – 1 = 4 – 1 = 3 > 0
f(1) = (1 – 1)² – 1 = 0² – 1 = – 1 < 0
f(3) = (3 – 1)² – 1 = 2² – 1 = 4 – 1 = 3 > 0

x ϵ (– ∞; 0) ᴜ (2; + ∞)

Совокупно: x ϵ (1; 3)   |   x ϵ (– ∞; 0) ᴜ (2; + ∞)

x ϵ (2; 3)

Совокупно:

а) x ϵ (0; 1)
б) x ϵ (2; 3)

x ϵ (0; 1) ᴜ (2; 3)

Рассмотрим (II) неравенство искомой системы:

log₂(x² – 3x + 3) > 1       `=>`       log₂(x² – 3x + 3) > log₂2

Так как a = 2 > 1, то:

x² – 3x + 3 > 2       `=>`       x² – 3x + 3 – 2 > 0       `=>`       x² – 3x + 1 > 0

Решим методом интервалов:

x² – 3x + 1 = 0

Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = – 3 и c = 1.
Найдем дискриминант данного уравнения:

D = b² - 4ac = (– 3)² - 4 · 1 · 1 = 9 - 4 = 5

Так как D > 0 (5 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:

f(0) = 0² – 3 · 0 + 1 = 1 > 0
f(1) = 1² – 3 · 1 + 1 = 1 – 3 + 1 = – 1 < 0
f(3) = 3² – 3 · 3 + 1 = 9 – 9 + 1 = 1 > 0

Найдем итоговое значение х, объединив результаты:

область определения: x ϵ (– ∞; 0) ᴜ (0; 1) ᴜ (1; 2) ᴜ (2; + ∞)

1. детерминировали область определения: x ϵ (– ∞; 0) ᴜ (0; 1) ᴜ (1; 2) ᴜ (2; + ∞);

2. решили (I) неравенство искомой системы. Его решением является x ϵ (0; 1) ᴜ (2; 3);

3. решили (II) неравенство искомой системы. Его решением является x ϵ (– ∞; `(3 - sqrt(5))/(2)`) ᴜ (`(3 + sqrt(5))/(2)`; + ∞);

4. определили итоговое значение х, объединив результаты: x ϵ (0; `(3 - sqrt(5))/(2)`) ᴜ (`(3 + sqrt(5))/(2)`; 3).