Категория C3 • задача №1
Условие задачи
Дано:
неравенство вида
Вопрос:
решите неравенство.
Решение
Найдем область определения:
Рассмотрим и решим (1) неравенство системы x2 + x – 20 > 0. Для этого воспользуемся методом интервалов:
x2 + x – 20 = 0
Получили полное приведенное квадратное уравнение. Для данного уравнения a = 1, b = 1 и c = – 20.
Найдем дискриминант данного уравнения:
D = b2 - 4ac = 12 - 4 · 1 · (– 20) = 1 + 80 = 81
Так как D > 0 (81 > 0 – верно), следовательно, уравнение имеет два действительных корня.
Найдем корни уравнения, подставив значения в формулу для решения квадратного уравнения:
f(–6) = (–6)2 + (–6) – 20 = 36 – 6 – 20 = 10 > 0
f(0) = 02 + 0 – 20 = – 20 < 0
f(5) = 52 + 5 – 20 = 25 + 5 – 20 = 10 > 0
x ϵ (– ∞; – 5) ᴜ (4; + ∞)
Рассмотрим и решим (2) неравенство системы:
Решим методом интервалов:
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть:
(x + 5)11 = 0 `=>` `root(11)((x + 5)^11)` = `root(11)(0)` `=>` x + 5 = 0 `=>` x1 = -5
x - 4 = 0 `=>` x2 = 4
x ϵ (– ∞; – 5) ᴜ (4; + ∞)
Решим (3) неравенство системы х – 4 ≠ 0:
х – 4 ≠ 0 `=>` х ≠ 4
Консолидируем рассчитанные значения х:
Получим:
Область определения: x ϵ (– ∞; – 5) ᴜ (4; + ∞)
Преобразуем заданное неравенство:
Используя свойство логарифма logabp = p · logab:
Воспользуемся свойством логарифма loga(bc) = logab + logac:
Используя свойство логарифма loga(`(b)/(c)`) = logab - logac:
Рассмотрим уравнение:
По определению логарифма (logab = x `hArr` ax = b) имеем:
(x - 4)12 = 1112 · 1 `=>` (x - 4)12 = 1112
Так как 12 – четное число, то получим равносильное уравнение:
(х – 4)2 = 112 `=>` (х – 4)2 – 112 = 0
Воспользуемся формулой a2 – b2 = (a – b)(a + b):
(x – 4 – 11)(x – 4 + 11) = 0 `=>` (x – 15)(x + 7) = 0
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть:
x – 15 = 0 `=>` x1 = 15 | x + 7 = 0 `=>` x2 = – 7
f(–8) = (–8 – 15) · (–8 + 7) = (–23) · (–1) = 23 > 0
f(0) = (0 – 15) · (0 + 7) = (–15) · 7 = –105 < 0
f(16) = (16 – 15) · (16 + 7) = 1 · 23 = 23 > 0
x ϵ [–7; 15]
Учитывая область определения имеем:
x ϵ [–7; – 5) ᴜ (4; 15]
Вывод: |
решением поставленного неравенства является x ϵ [–7; – 5) ᴜ (4; 15] |
Резюме
детерминировали область определения: x ϵ (– ∞; – 5) ᴜ (4; + ∞);
преобразовали заданное неравенство. Его решением является x ϵ [–7; 15];
учитывая область определения, определили решение поставленного неравенства: x ϵ [–7; – 5) ᴜ (4; 15].
Ответ: |
[–7; – 5) ᴜ (4; 15] |
Комментарии